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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.20. Hallar el valor de $k \in \mathbb{R}^{+}$ para que el área de la región limitada por los gráficos de $f(x)=k x^{3}, y=8$ y el eje de ordenadas valga 12.

Respuesta

Otro ejercicio clave para resolver, lo vamos a hacer siguiendo los mismos razonamientos del Ejercicio anterior (y que también vimos en la clase "Hallar $a$ para que el área encerrada entre dos funciones sea...")

En este caso tenemos dos funciones involucradas:

$f(x) = kx^3$ y $g(x) = 8$

y además, nos imponen el límite de integración $x=0$ (el eje de ordenadas es el eje $y$)

Entonces, arrancamos buscando puntos de intersección:

$kx^3 = 8$

Pasamos $k$ dividiendo, lo podemos hacer sin problemas porque sabemos que $k \in \mathbb{R}^{+}$, es decir, es un número real positivo, no vale cero. 

$x^3 = \frac{8}{k}$

Aplicamos raíz cúbica en ambos miembros:

$ x = \frac{2}{\sqrt[3]{k}} $

Por lo tanto, $f$ y $g$ se intersecan en $ x = \frac{2}{\sqrt[3]{k}} $ (que es un número mayor a cero, lo ves?)

Ahora, techo y piso... Lo podemos ver de varias formas, una es recordando cómo era el gráfico de $x^3$, eso te va a ayudar un montón a ver que necesariamente $x^3$ es piso y $y = 8$ es techo. Analíticamente también lo podés pensar, yo creo que gráficamente se entiende mejor igual 😉

Planteamos ahora la integral del área:

$A = \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} (8 - kx^3) \, dx$

Resolvemos la integral, acordate que $k$ es simplemente un número, esta es una integral de tabla :)

$A = \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} (8 - kx^3) \, dx = (8x - k\cdot \frac{x^4}{4}) \Big|_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{k}} - k\cdot \frac{(\frac{2}{\sqrt[3]{k}})^4}{4}  $

Vamos a reacomodar un poco este resultado (atenti, varias reglas de potenciación usamos acá)

$8 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{k}} - k\cdot \frac{(\frac{2}{\sqrt[3]{k}})^4}{4} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{k}{4} \cdot \frac{2^4}{(k^{1/3})^4} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{k}{4} \cdot \frac{16}{k^{4/3}} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{4}{k^{1/3}} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{4}{k^{1/3}} = \frac{12}{k^{1/3}}$

Ahora igualamos el resultado del área a $12$:

$ \frac{12}{k^{1/3}} = 12$

$1 = \sqrt[3]{k}$

Elevamos al cubo ambos miembros:

$k = 1$

Por lo tanto, si $k = 1$ el área encerrada vale exactamente $12$.
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Avatar Valentina 22 de octubre 21:16
Hola Flor, como estas? cuando despeje k me quedo en 2, pero solo consigo el área encerrada y no el valor de k.
Avatar Flor Profesor 24 de octubre 07:44
@Valentina Hola Valen! Ay no estoy entendiendo qué hiciste, porque por un lado entiendo que k te dio 2, pero después que no conseguiste el valor de k jaja... o sea, vos al resolver la integral obtenes primero el área encerrada (que depende de k), a eso lo igualamos a 12 (porque queremos que el área valga 12) y de ahí despejamos k 

Fijate muy bien en este ejercicio que, una vez que calculamos la integral (esa es el área, que nos quedó dependiendo de k) en el siguiente renglón nos dedicamos a reescribir bien ese resultado, usando reglas de potencias, para que nos quede más cómodo en el siguiente paso igualar el resultado a 12 y despejar k 
Avatar Valentina 24 de octubre 20:54
@Flor ay flor no se que hice mal :( , te paso foto de como lo hice .2024-10-24%2020:53:35_7546003.png
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